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  • Espérance conditionnelle-Vecteurs aléatoires

    Dans la série TD3, on traite l'espérance conditionnelle suite aux exercices réalisés (TD2), l'objectif visé est de maitriser les notions de base en faisant le lien avec la théorie de mesure. On met l'accent sur l'application du théorème de projection en analyse Hilbertienne  afin de trouver le meilleur prédicteur.

    D'autre part, on s'intéresse aux vecteurs aléatoires et leurs propriétés générales partant des couples aléatoires.

    Des exercices sur les processus aléatoires seront proposés prochainement.

    N'hésiter pas à me contacter pour toute question, toute remarque (Cours et TD):

    Email: a.redjil@univ-annaba.dz, rdj_amel@yahoo.fr

  • Processus aléatoires-Notions de base

    Sous le nom de processus aléatoire ou processus stochastique, on entend un modèle permettant d’étudier un phénomène aléatoire évoluant au cours du temps. Pour le décrire on se donne un espace probabilisé, un espace mesurable (E,B) où E est appelé espace des états du processus et une famille de variables aléatoires définies sur cet espace probabilisé et à valeurs dans E.

    On donne les notions de base sur les processus aléatoires, on traite les exemples classiques et fondamentaux de processus stochastiques. Citons par exemple : processus de comptage, processus de Poisson, Processus de Wiener ou mouvement brownien, Suite de variables aléatoires  indépendantes, processus stationnaires, Processus gaussiens, Martingales , Processus à accroissements indépendants et Processus de Markov.

  • Histoire d'un processus

    Je vous propose une promenade dans l'histoire avec l'un des célèbres processus appelé, mouvement brownien.

    En se basant sur ce processus, des études approfondies des phénomènes aléatoires sont réalisées, elles ont permis des progrès dans le domaine des probabilités avancées et ses nombreuses applications.

  • Temps d'arrêt-Rappel

    On a vu que la notion de temps d’arrêt joue un rôle central dans l’analyse des processus aléatoires. C’est la vraie notion de temps aussi bien pour les développements mathématiques que pour la modélisation. Les prises de décision en présence d’une structure d’information doivent prendre en considération l’information disponible à la date courante, et les seuls temps aléatoires  qui sont perceptibles par un agent, dont la structure d’information est décrite par une filtration, sont les temps d’arrêt.

    Des exercices sont proposés pour compléter les notions requises.

  • Vecteurs aléatoires: Rappel -Exercices

  • Processus aléatoires- Exemples et propriétés

    Suite aux cours précédents sur les processus aléatoires, en particulier dans la partie  des  exemples ( processus de comptage et mouvement brownien), on propose  d'autres types de processus ainsi que des propriétés fondamentales. Citons par exemple, une suite de variables aléatoires indépendantes, processus stationnaires, processus gaussiens et processus à accroissements indépendants.

    On met l'accent sur les martingales, largement utilisées en modélisation (exemple des jeux équitables), on traite aussi les processus de renouvellement utilisés dans le domaine de la fiabilité.

    On clôture par le processus de Markov, très connu dans le domaine des mathématiques appliquées. La propriété essentielle de ce processus c'est son futur qui ne dépend du passé qu'à travers son présent.

    Si l’'espace des temps est discret, on parle des chaînes de Markov qui feront l'objet du cours à venir.

  • Processus aléatoires-Exercices

    Dans la partie  du cours, on a vu des exemples détaillés  sur les processus aléatoires.

    Dans cette feuille d'exercices, on traite des propriétés de base , faisant le lien avec les notions acquises.

    Important: Prière de m'envoyer vos adresses mails à l'adresse: rdj_amel@yahoo.fr

  • Chaînes de Markov- Premières définitions

    Un processus de Markov est un processus stochastique possédant la propriété de Markov: l'information utile pour la prédiction du futur est entièrement contenue dans l'état présent du processus et n'est pas dépendante des états antérieurs. Les processus de Markov portent le nom de leur inventeur le mathématicien russe , Andreï Markov. (1856-1922).

    Une chaîne de Markov est un processus de Markov à temps discret, ou à temps continu et à espace d'états discret.

    Andreï Markov a publié les premiers résultats sur les chaînes de Markov à espace d'états fini en 1906. Une généralisation à un espace d'états infini dénombrable a été publiée par Kolmogorov en 1936.

    Les chaînes de Markov jouent un grand rôle à la fois dans la théorie et dans les applications, et ont fait l'objet de développements considérables depuis leur introduction. elles ont plusieurs applications: sciences de la vie (génétique, modèles d’épidémie), finance (les cours de la bourse), théorie du signal (problèmes de filtrage, de prédiction), traitement d’image, traitement de la parole, informatique (files d’attente dans les réseaux)...etc.

    Rappel: Prière de m'envoyer vos adresses mails à l'adresse: rdj_amel@yahoo.fr

  • Chaînes de Markov- Notions de base

    Dans cette partie du cours, on met l'accent sur quelques notions de base. La formule de Chapman-Kolmogorov  exprime le fait que la probabilité d’'aller de x en y entre la date 0 et la date n se décompose comme la somme des probabilités d’'aller de x en y en passant par un état z arbitraire à une date intermédiaire k.

    On étudie le lien entre  la matrice de transition et l'espérance conditionnelle.

  • Chaînes de Markov- Propriétés

    On a vu qu'un modèle dynamique pour lequel le futur dépend de l’état présent et du hasard est appelé une chaîne de Markov : c’est un modèle simple pour représenter un phénomène aléatoire évoluant au cours du temps. On étudie une extension importante de la propriété de Markov appelée propriété de Markov forte.

  • Chaînes de Markov: Exercices

     Dans cette feuille d'exercices, on traite les notions de base ainsi que des propriétés essentielles des chaînes de Markov.

  • Chaînes de Markov- Propriétés. Suite

  • Google Meet- Séance 1

    Important

    Télécharger l'application Google Meet, une séance sera programmée le 04 Juin 2020, le lien sera envoyé aux adresses mails reçues ainsi que l'horaire.

    • Google Meet- Séance 2

      Après avoir fait la première séance qui a été consacrée à  la partie 1 du cours: Processus aléatoires,  la séance 2 est programmée le 06 Juin 2020, le lien et l'horaire seront envoyés aux adresses mails. On va traiter la partie 2 du cours: Processus aléatoires.

      • Google Meet- Séance 3

        La séance 3 est programmée le 07 Juin 2020, le lien et l'horaire seront envoyés par mail. On commence par les martingales (suite -cours partie 2), ensuite on va traiter la partie 3.

        Devoir:

        On a vu durant la séance 2, l'exemple de la marche aléatoire simple.

        Montrer que la marche aléatoire simple est une martingale à temps discret si elle est symétrique (p=1/2).

        • Google Meet- Séance 4

          La séance 4 est programmée le 08 Juin 2020,  on va donner les  définitions  premières des chaînes de Markov;  la dynamique markovienne et ses propriétés seront étudiées.

          Préparer le fichier: Cours Chaînes de Markov-Partie 1, vous recevrez le lien et l'horaire par mail.

          • Google Meet- Séance 5

            Consultez vos mails pour accéder à la séance programmée le 09 Juin 2020. On va traiter la partie 2 du cours: Chaînes de Markov.

            • Google Meet- Séance 6

              Une séance est programmée le 10 Juin 2020.

              Cours: Chaînes de Markov( partie 2-Suite  et partie 3), consultez vos mails.

              • Google Meet- Séance7

                La séance programmée le 11 Juin 2020 sera consacrée à la quatrième partie du cours: Chaînes de Markov.

                Le Lien et l'horaire ont été envoyés par mail.

                • Google Meet- Séance 8

                  Une séance est programmée le 12 Juin 2020, on va traiter la suite du cours: Chaînes de Markov- partie4.

                  Vous recevrez le lien et l'horaire par mail.

                  • Google Meet- Séance 9

                    Une séance est programmée le 13 Juin 2020.

                    Cours: Chaînes de Markov- Partie 4.C

                    Consultez vos mails.

                    • Google Meet- Séance 10

                      Après avoir fait un rappel de toutes les parties du cours mises en ligne, une séance d'exercices est programmée le 14 Juin 2020, vous recevrez le lien et l'horaire par mail.

                      • Google Meet- Séance 11

                        Des séances ( travaux dirigés) seront  proposées, la première séance est programmée  le 27 Juin 2020, on va baser sur l'espérance conditionnelle.

                        Les exercices, le lien et l'horaire seront envoyés par mail.

                        Important: Vous pouvez m'envoyer vos essais et vos questions  par mail avant le déroulement de la séance.

                        • Google Meet- Séance 12

                          Une séance d'exercices est  programmée le 28 Juin 2020, le lien et l'horaire seront envoyés par mail.

                          Devoir:

                          Considérer la partie traitée durant la séance précédente  ( Espérance conditionnelle et indépendance-page 6):

                          Calculer E(X/Y) en gardant les mêmes hypothèses sur les variables aléatoires X et Y.

                          • Google Meet: Rappels de cours et exercices

                            Des séances (rappels de cours et exercices) seront programmées à partir du 24 Août 2020.

                            La première séance aura lieu le 24 août, elle  sera consacrée au rappel sur les processus aléatoires suivi d'exercices.

                            Le Lien et l'horaire seront envoyés par mail.

                          • Google Meet- Espérance conditionnelle

                            Consultez vos mails pour accéder à la séance programmée le 25 Août 2020:

                            Rappel et exercices sur l'espérance conditionnelle

                            • Google Meet- Exercices

                              Une séance d'exercices de révision est  programmée le 26 août 2020, le lien et l'horaire seront envoyés par mail.

                              • Google Meet- Rappel et exercices (suite)

                                Le lien  de la séance programmée le 28 Août a été envoyé par mail.