Section 1: chapitre III: Étude de l'équation de la chaleur
Ce cours s' intéresse à l'équation de diffusion de la chaleur par différentes approches commençant par son origine physique. Cette équation est une EDP linéaire parabolique formellement resoluble par transformée de Fourier continues ou discrètes. Reste que la solution n'existe vraiment que si elle appartient à un espace fonctionnel (un banach, un hilbertien ou un sobolev), ce qui nous mène à l'étude de la régularité de la solution formelle.
Nous exposons après les propriétés fondamentales de cette équation et de sa solution. On présente l'approche des semi-groupes pour étudier cette équation qui est une équation d'évolution brièvement puis l'approche variationnelle comme l'équation contient un opérateur elliptique (le laplacien).
Dans toute l'étude notre intérêt porte sur la solution faible qui peut avoir différentes définitions selon l'approche utilisée , les données et les espaces fonctionnelsdans lesquels on travaille.